참고자료: 이것이 코딩테스트다
가장 빠르게 도달하는 방법
📌최단경로: 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
👉🏻보통 그래프를 이용해 표현한다. 각 지점은 그래프에서 '노드'로 표현되고 지점간 연결된 도로는 그래프에서 '간선으로'표현된다. 최단경로 알고리즘 종류는 다음과 같다.
- 다익스트라 알고리즘
- 플로이드 워셜
- 벨만 포드 알고리즘
다익스트라 최단 경로 알고리즘
📌그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구한다. '음의 간선'이 없을 때 정상적으로 동작하는데 이러한 특성으로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되곤 한다.
👉🏻기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. 매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다. 원리는 다음과 같다.
- 출발 노드를 설정한다.
- 최단 거리 테이블을 초기화한다.
- 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
- 3번, 4번 과정을 반복한다.
👉🏻다익스트라 알고리즘을 간단히 보자면 이렇다. 한 단계씩 자세히 살펴보자.
0️⃣단계
👉🏻출발 노드를 1이라고 하자. 초기 상태에서는 다른 모든 노드로 가는 최단 거리를 '무한'으로 초기화한다.
1️⃣단계
👉🏻1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산한다. 1번 노드와 연결된 모든 간선을 하나씩 확인한다.
2️⃣단계
👉🏻이후 모든 단계에서도 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다. 때문에 1번 노드 다음에 4번 노드를 선택해서 본다.
✍🏻4번 노드를 거쳐서 갈 수 있는 노드는 3번과 5번 노드가 있다. 이 때 3번 노드에 이미 저장되어 있던 거리 5(1→3)보다 4번 노드를 거쳐가는 거리인 4(1→4→3)가 더 짧은 경로이므로 4로 갱신된다.
3️⃣단계
👉🏻이후 2번과 5번 노드까지의 최단 거리가 2로 같은데 이럴 때 일반적으로 번호가 작은 노드를 선택한다.
✍🏻2번을 거쳐서 3번 노드로 가는 경로는 5이다. 하지만 이미 더 짧은 경로인 4(1→4→3)가 저장되어 있기 때문에 갱신되지 값이 않는다.
4️⃣단계
👉🏻이후 같은 과정을 반복하며 테이블을 완성한다.
👉🏻다익스트라는 '방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택'하는 과정을 반복하므로 선택된 노드는 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다.(ex) 4번 노드) 즉, 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것이다.
간단한 다익스트라 알고리즘 구현
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range(1, n + 1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
# 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n - 1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[i]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print('INFINITY')
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])👉🏻V는 노드의 개수이다. 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한다. 이후에 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.
✍🏻sys.std.realine(): input()을 더 빠르게 동작하는 파이썬 내장 함수이다. 입력되는 데이터 수가 많을 때 사용한다.
👉🏻시간 복잡도는 O(V제곱)이다. O(V)번에 걸쳐 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일히 확인하기 때문이다. 때문에 노드와 간선이 많다면 '개선된 다익스트라 알고리즘'을 이용해야 한다.
개선된 다익스트라 알고리즘
👉🏻최악의 경우에도 시간 복잡도가 O(ElogV)를 보장한다. 여기서 V는 노드의 개수, E는 간선의 개수이다.
👉🏻최단 거리가 가장 짧은 노드를 찾는 속도를 줄이기 위해 힙(Heap) 자료구조를 사용한다.
✅힙이란?
📌우선순위 큐를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조 중 하나이다.
✍🏻우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다는 특징이 있다.
| 자료구조 | 추출되는 데이터 |
| 스택(Stack) | 가장 나중에 삽입된 데이터 |
| 큐(Queue) | 가장 먼저 삽입된 데이터 |
| 우선순위 큐(Priority Queue) | 가장 우선순위가 높은 데이터 |
👉🏻파이썬에서는 PriorityQueue 혹은 heapq 라이브러리를 사용하면 된다. heapq가 더 빠르게 동작하므로 heapq 사용을 권장한다. 우선순위 큐 라이브러리에 데이터의 묶음을 넣으면, 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위를 설정한다.
👉🏻우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙 혹은 최대 힙을 이용한다. 최소 힙은 '값이 낮은 데이터가 먼저 삭제'되기 때문에 최단 경로 알고리즘에 적합하다.
👉🏻현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용한다.
0️⃣단계
👉🏻1번 노드가 출발 노드이므로 다른 노드까지의 거리는 무한으로 설정한다. 그리고 1번 노드까지 가는 거리는 자기 자신까지 도달하는 거리이므로 (거리: 0, 노드:1)의 정보를가지는 객체를 우선순위 큐에 넣는다.
✍🏻파이썬에서는 간단하게 튜플 (0, 1)을 우선순위 큐에 넣으면 된다. 파이썬의 heapq 라이브러리는 원소로 튜블을 입력받으면 튜플의 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위 큐를 구성한다. 따라서 (거리, 노드, 번호) 순서대로 튜플 데이터를 구성해 우선순위 큐에 넣으면 거리순으로 정렬된다.
1️⃣단계
👉🏻이제 가장 짧은 노드를 선택하기 위해서는 우선순위 큐에서 그냥 노드를 꺼내기만 하면 된다. 기본적으로 거리가 짧은 원소가 우선순위 큐의 최상위 원소로 ㅗ있기 때문에 꺼낸 노드가 이미 처리된 노드라면 그냥 무시하면 된다.
👉🏻이번에 꺼낸 원소가 (0, 1)이므로 1번 노드를 거쳐 2번, 3번, 4번 노드로 가는 최소 비용을 계산하고 더 짧은 경로를 찾았다면 각각 갱신해준다. 그리고 더 짧은 경로를 찾은 노드 정보들은 다시 우선순위 큐에 넣는다.
2️⃣단계
👉🏻(1, 4)원소를 추출해 4번 노드의 최단 경로를 1로 갱신한다. 또 4번을 거쳐 갈 수 있는 3번과 5번 노드의 최단 거리 값을 갱신해준다. 또 우선 순위 큐에는 (4, 3), (2, 5)라는 두 원소가 추가로 들어간다. 우선순위 큐는 거리가 작은 순서대로(튜플의 첫 번째 원소) 기록하므로 위와 같은 순서로 기록된다.
3️⃣단계
👉🏻꺼내진 원소의 노드인 2번 노드를 거쳐 갈 수 있는 3번과 4번 노드의 최단 경로를 살펴보자. 2번 노드를 거쳐가면 이미 기록되어 있는 거리보다 더 큰 거리를 소비하게 되므로 거리의 값이 변하지 않고 우선순위 큐에도 어떠한 원소가 들어가지 않는다.
4️⃣단계
👉🏻같은 과정을 계속해서 반복한다.
👉🏻꺼낸 원소의 노드가 앞서 처리된 적이 있는 노드하면(ex) 3번) 무시하고 넘어가면 된다.
개선된 다익스트라 알고리즘 구현
from dis import dis
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) #무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print('INFINITY')
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])👉🏻앞의 코드와 비교해 get_smallest_node()함수를 구현할 필요가 없는데, '최단 거리가 가장 짧은 노드'를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할 수 있기 때문이다.
플로이드 워셜 알고리즘
📌모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우에 사용한다.
👉🏻단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N제곱)의 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐 가는' 모든 경로를 고려한다. 때문에 플로이드 워셜 알고리즘의 총시간 복잡도는 O(N세제곱)이다.
👉🏻다익스트라와 다르게 2차원 리스트에 '최단 거리' 정보를 저장한다. 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문이다.
👉🏻해당 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍이다. 노드의 개수가 N개라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신하기 때문이다.
0️⃣단계
👉🏻해당 그래프를 바탕으로 다음과 같이 초기 테이블을 설정한다. 연결되지 않은 간선은 무한으로 채운다.
1️⃣단계
👉🏻1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려한다. 1번 노드를 제외한 2번, 3번, 4번 노드에서 2개의 노드를 뽑는 경우를 고려한다. 정확히 (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 3)으로 6가지가 있다. 각 노드를 한 번에 이동하는 경우와 1번 노드를 거쳐서 이동하는경우를 고려해 더 작은 값으로 갱신해준다.
2️⃣단계
👉🏻2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려해 테이블을 갱신한다.
3️⃣단계
👉🏻이 후 같은 과정을 반복한다.
👉🏻최종결과는 다음과 같다.
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
#각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
#수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if graph[a][b] == INF:
print('INGINITY')
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(graph[a][b], end = " ")
print()👉🏻소스 코드는 다음과 같다.
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